HPを運営するにあたって大抵の場合は、独自ドメインを取得してレンタルサーバーを借りて・・という運営状態になると思います。そしてサーバーには、月数百円から数千円まで様々なモノがあります。

「サーバーの見直しは必要か」
まずはドメインの状態を考えてみる必要があります。サーバー契約と共にドメインの取得代行をしている場合には、サーバーだけ別にする事は無理である、またはドメイン移管が必要になります。そのドメイン移管に関しては、そのレンタルサーバー会社に次の業者に移してもらうサービスは無いでしょう。
このような条件を考慮すると、まずドメイン管理を自分で行う必要があります。自分で管理する際にはサーバー会社に合わせて、自分のタイミングで行う事が可能です。

ドメインの所有管理が自分で行える事を前提とした場合、サーバーの移行手続きはそれほど難しくはありません。新旧サーバーに同じ内容をFTPで設定しておきます。その後、DNS変更をして新サーバーへドメインを紐付けする事によって切り替わっていきます。この際にメール設定も一定期間ダブらせておく必要があります。その際のPOPおよびSMTPはIPアドレスで指定しておきましょう。
この一定期間とは、全環境下で新サーバーへのアクセスが確立されるまでは、新旧どちらを経由しているか分からない期間です。プロパゲーション期間（DNS浸透期間）といいますが、通常ならば約2週間程度と考えていいでしょう。大抵の場合は48時間程度で処理は完了します。

サーバーを見直す必要とは、今の環境下において機能的に物足りない、安定が悪い、金銭的に問題がある等、様々な理由が考えられますが、サーバーによって機能面はともかく設定状況も異なります。OSが違えば設定は大きく変わりますし、CGIやPHPの動作環境も異なります。特にデータベースと連動させている場合は、バージョンによって全てを見直す必要も出てきます。
単純な構造のサイトだと大半は問題ないですが、様々な機能を付随させている場合はじっくりと考慮する必要があります。